Bonjour :)

Juste une question pour confirmation de réflexion :

1 carte sur 67 en moyenne est foil (ça dépend des éditions)
La carte foil remplace une commune mais la répartition foil commune/unco/rare suit la logique de répartition des tirages, donc sur 15 foil ouverts en booster, il y aura 1 rare foil, 3 unco foil et 11 commune foil, c'est bien ça?

Donc en gros tout les 67 booster on a une carte rare foil?!

Donc une pour une édition avec 100 rare, il faut donc pour avoir un exemplaire de chaque rare en foil ouvrir 6700 booster, soit 186 boites environ, c'est bien ça?

Donc en gros pour 1 cartes rare foil sur le marché, il y en à 67 normales?!

Merci :)

Morphilou, sérieusement j'hallucine vraiment de te voir m'expliquer ce qu'est une probabilité.

Tu ne lis juste pas ce que j'écris. Mon premier post commence par : "Si ce paragraphe est correct". Le paragraphe n'étant pas correct, obviously le résultat final n'est pas bon. Je suis parti d'un énoncé et j'ai résolu le problème qui a été posé et je le répète ce problème n'est vraiment pas à la porter de tout le monde.

Combien faut t-il ouvrir de booster en moyenne avant d'avoir toutes les rares d'une extensions en Foil.

Le problème posé se résume à deux données :
p : Probabilité d'avoir une rare Foil dans un booster
n : Nombre de rare dans l'extension


Voici comment on le résoud (je vais aller un peu vite sur la preuve).

On considère l'expérience consistant à répéter une expérience de Bernouilli de paramètre p non-nul jusqu'à obtenir un succès. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre d'expérience effectué.
- On montrer que P(X = k) = (1-p)^{k-1} p
- On montre que E[X] = 1/p

Maintenant si on note X la variable aléatoire désignant le nombre de cartes à piocher avec remise parmi un ensemble de n cartes avant d'avoir piocher au moins une fois chaque carte.
On a : X = X_1 + X_2 + ... + X_n

Où X_k désigne le nombre de cartes qu'il faut piocher pour obtenir la k-ième carte différente. Les variables X_k étant indépendantes, l'espérance de X est égal à la somme des espérances des X_k.
Or X_k correspond justement au nombre fois que l'on répète une expérience de Bernouilli de paramètre (n+1-k)/n jusqu'à obtenir un succès

On obtient donc : E[X] = sum_{k=1}^n n/(n+1-k) = n sum_{k=1}^n 1/k
(Réorganisation des indices de la somme est mise de n en facteur)

Si on resitue ça dans le contexte du problème, E[X] ci-dessus correspond au nombre de carte rare foil qu'il faut ouvrir pour espérer obtenir en moyenne une rare foil de chaque.
Etant donné qu'il y a une probabilité p d'obtenir une rare foil par booster le résultat attendu est : n/p * sum_{i=k}^n 1/k


Avec les valeurs que l'on m'a donné, p =1/67 et n=100, on trouve bien 34755.4. Néanmoins si on prend les valeurs corrigées que tu donnes alors on obtient :

- War of The Spark : p=1/36 ; n = 55. On obtient environ 9095.35 boosters soit environ 252.65 boites
- Guild of Ravnica : p=1/36 ; n = 60. On obtient environ 10108.52 boosters soit environ 280.79 boites
- Dominaria : p=1/36 ; n = 56. On obtient environ 9296.72 boosters soit environ 256.24 boites
- Carnage : p=1/40 ; n = 110. On obtient environ 23241.83 boosters soit environ 581.05 boites

Attention,
p =1/67 est la proportion foil / cartes
p1/40 est la proportion rare foil / booster
Du coup c'est pas la même donné !

Je ne fais pas la confusion.

Dans mon premier post je me suis basé sur ton énoncé du problème qui était erroné pour faire mes calculs (la répartition foil commune/unco/rare ne suit au final pas la logique de répartition des tirages).
Morphilou a corrigé ça et du coup j'ai refais les calculs, n'allez pas chercher plus loin.

Je poste une dernière fois sur ce topic parce que le déroulement du truc m'a fait halluciné.

- Je reprend Laquatus (en à peine quelques minutes après la lecture de son post) sur la partie la plus complexe à savoir que le nombre de booster à ouvrir pour obtenir toutes les rares foil d'une extension n'est pas si simple à calculer que ce qu'il dit (c'est un problème complexe même pour des classes prépa donc l'erreur est bien pardonnable). De plus je prend la précaution de bien signaler que les valeurs que je vais donner dépendent de ce qu'il dit dans son post et que du coup si ce qu'il dit est faux, mes valeurs seront fausses. Néanmoins le point essentiel de mon post était que le raisonnement de Laquatus n'était pas bon.

- Laquatus me demande d'où sort ce nombre. Je n'ai pas le temps de faire un pavé sur le moment parce que cela nécessite réellement un pavé.

- Morphilou souligne que les valeurs données par laquatus sont inexactes, et fait deux conclusions erronés : "il fallait donc ouvrir 122 boites minimum en theorie." et "cela signifie que pour planar par ex 40 boites minimum suffisaient (en theorie)"

- A nouveau les chiffres ne m’intéressent pas ici, mais je vais reprendre Morphilou parce qu'il fait une erreur de raisonnement entre ce qu'il calcul et ce qu'il pense avoir calculé. Il calcule le nombre de boites de booster à ouvrir en moyenne pour avoir 110 rares pour une vieille extension et le nombre de de boites à ouvrir en moyenne pour avoir 40 rares dans une extension récente. Cependant dans son post il utilise maladroitement le mot minimum et c'est là dessus que je le reprend. En effet :
- le nombre minimal de boite à ouvrir pour avoir toutes les rares de l'extension est égal au nombre de rare de l'extension.
- le nombre minimal de boite à ouvrir pour être certain d'avoir toutes les rares de l’extension est potentiellement infini (même si les contraintes de notre monde physique vont ici intervenir car si on ouvre trop de booster on ne peut plus assimiler leur ouverture à des tirages indépendant et il faut reprendre la modélisation du problème)
Ce qu'il aurait fallut dire était que le nombre de boite à ouvrir pour obtenir en moyenne toutes les rares en Foil est minoré par les valeurs de Laquatus. Mais la minoration d'une probabilité ça correspond au final à quelque chose de totalement inutile en pratique et même en mathématique on ne fait jamais cela (sauf dans de très rare cas où on ne sait vraiment pas calculer la probabilité).

- Dans le reste des posts de Laquatus et Morphilou vous m'expliquez les probabilités comme si j'avais 14 ans (que ce soit le notion même de probabilité, la notion de moyenne, d'espérance et de loi des grands nombres) allant même pour morphilou a affirmé que le nombre que je donne dans mon premier post 34755 sort de nul part juste parce qu'il ne le comprend pas.

Au final j'ai juste voulu vous corriger tout les deux tour à tour et de mon côté je n'ai fait absolument aucune erreur de raisonnement. Malgré cela vous avez crû tout les deux (peut-être aussi à cause du troll de toufmade et parce que vous ne compreniez pas la valeur donné dans mon premier post que je n'ai pas développé) que je ne savais pas du tout de quoi je parlais. J'espère que mon dernier pavé vous aura montré le contraire.

Maintenant si quelqu'un veut que je développe certaines parties de la preuve un peu plus je peux le faire. Je peux aussi vulgariser un peu plus cette preuve sans cette notation et ce vocabulaire un peu trop matheux, si quelqu'un souhaite comprendre pourquoi intuitivement c'est cette formule qu'il faut utiliser.

d'ou mon 200 to 600 avec variance

Tes valeurs de 200 à 600, certainement obtenu de manière empirique, donnent en effet une approximation à la louche cohérente du nombre de boite à ouvrir en moyenne suivant les extensions pour choper toutes les rares en Foil.

Néanmoins cela ne correspond pas à la variance. Pour chaque valeur de n et p on a une variance différente. Et on ne peut pas parler de variance dans l'absolu quelque soit n et p.
Quant à la formule exacte de la variance elle risque de ne pas être aussi jolie que celle de l'espérance que j'ai donné ici et je n'ai vraiment pas le temps de me lancer dans ces calculs.

Tiens j'ai fait une faute de frappe dans la formule en gras, ça la fout mal :/
n/p * sum_{k=1}^n 1/k

Comment veux tu qu'on te prenne au sérieux si tu commets des erreurs aussi basiques ?