Citation :
A partir du moment où tu l'as eu le premier jour, t'avais une chance sur 85(+ le Nb de 'grands') de l'avoir le lendemain.
Vrai si la quantité de fourchettes dans le stock est égale au nombre de personnes, mais si y a 150 fourchettes dans le stock alors la proba serait plutôt 1/150. Après la qualité du mélange de fourchettes entre 2 repas influe aussi, si les fourchettes propres sont remises sur le dessus du tas et resservies le lendemain alors on reste sur 1/85 par exemple.
Maintenant, essayons de calculer la probabilité d'obtenir la fourchette sur au moins 2 repas consécutifs dans une série de n repas.
(1) Soit p la probabilité d'obtenir la fourchette tordue pour un repas donné.
(2) On note p(n) la probabilité qu'une suite de n repas ne comporte pas deux repas consécutifs avec la fourchette tordue, et se termine par un repas avec la fourchette tordue.
(3) On note q(n) la probabilité qu'une suite de n repas ne comporte pas deux repas consécutifs avec la fourchette tordue, et se termine par un repas sans la fourchette tordue.
(4) On note P(n) la probabilité qu'une suite de n repas comporte au moins deux repas consécutifs avec la fourchette tordue.
(5) On note Q(n) la probabilité qu'une suite de n repas ne comporte pas deux repas consécutifs avec la fourchette tordue.
On déduit des hypothèses de départ les relations suivantes :
• p(1) = p
• q(1) = 1-p
• p(n+1) = p*q(n)
• q(n+1) = (1-p)*p(n) + (1-p)*q(n)
• Q(n) = p(n) + q(n).
• P(n) = 1 - Q(n) = 1 - (p(n) + q(n)).
Soit U(n) la matrice de dimensions (2; 1) (2 lignes, 1 colonne) :
U(n) = {{ p(n) }, { q(n) }}
On a alors :
U(n+1) = {{ p(n+1) }, { q(n+1) }} = {{ p*q(n) }, { (1-p)*p(n) + (1-p)*q(n) }}
Qu'on peut aussi exprimer :
U(n+1) = A . U(n)
Avec A matrice carrée de dimensions (2; 2) telle que :
A = {{ 0, p }, { 1-p, 1-p }}
Par associativité, on a :
U(n) = A^(n-1) . U(1) = {{ 0, p }, { 1-p, 1-p }}^(n-1) . {{ p }, { 1-p }}
On en déduit la valeur P(n) :
P(n) = 1 - (p(n) + q(n))
= 1 - {{ 1, 1 }} . U(n)
= 1 - {{ 1, 1 }} . A^(n-1) . U(1)
= 1 - {{ 1, 1 }} . {{ 0, p }, { 1-p, 1-p }}^(n-1) . {{ p }, { 1-p }}
En posant p = 1/85 (85 fourchettes) et n = 140 :
P(n) ~ 1.88 %
Il y a donc, pour un individu donné, environ 1.88 % de chances pour que cet individu tombe sur la fourchette tordue sur 2 repas consécutifs s'il consomme 140 repas et qu'il y a 85 fourchette différentes pour seulement 1 fourchette tordue. Probabilité à ne pas confondre avec celle qu'au moins un individu parmi les 85 tombe sur la fourchette tordue sur 2 repas consécutifs.
Paco369 a donné un résultat équivalent donc on s'est peut-être pas plantés !
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Pégase
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