Cliquez ici pour lire cet article écrit par Yann Barsamian

longtemps après la bataille, mais pourquoi s'embeter avec le furnace et l'opalescence? Rien que l'infinité de token crée, si on les fait devenir /5 en copiant l'élémental, ca fait omega² et c'est supérieur à omega.

Parce que, dans le paragraphe où il est question de tout ça (La hiérarchie des infinis), je parle de l'infini comme étant "l'infini dénombrable" et pas comme le omega ordinal dont il est question dans le paragraphe précédent (Les nombres ordinaux). Et il se trouve que, dans ce cas, "le mettre au carré ne change rien" : il y a autant de nombres entiers que de couples de nombres entiers ("Aleph 0 au carré vaut toujours Aleph 0").

C'est assez joli d'ailleurs à voir en dessin, et la preuve est facile : il suffit de donner un numéro à chaque couple d'entiers, ce qui montre bien qu'il y en a autant que des nombres. Ça peut se faire en donnant un numéro en fonction de la diagonale sur laquelle il est :

(0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0)
(0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1)
(0, 2) (1, 2) (2, 2) (3, 2)
(0, 3) (1, 3) (2, 3) (3, 3)
(0, 4) (1, 4) (2, 4) (3, 4)

=> première diagonale (0, 0) : numéro 0
=> seconde diagonale (0, 1) (1, 0) : numéros 1 et 2
=> troisième diagonale (0, 2) (1, 1) (2, 0) : numéros 3, 4 et 5
=> quatrième diagonale (0, 3) (1, 2) (2, 1) (3, 0) : numéros 6, 7, 8 et 9
etc.

C'est là où j'atteins mes limites monsieur le professeur. J'avais vu des trucs sur l'hotel de hilbert, mais c'est toujours dans les ordinaux que l'on en parlait (les chambres sont ordonnées 1er chambre, 2eme chambre,...) et on parlait toujours de omega pas de aleph.

De toute facon, meme si je comprend bien la différence entre cardinal et ordinal, donc d'un côté le nombre d'élément et de l'autre la position dans la collection on va dire, je vois pas trop en quoi omega et aleph sont différents puisque... N = N.... hum, omega c'est le numéro de l'entier qui vient après que l'on ai compté (donné un numéro d'ordre à) tous les entiers... à partir des entiers justement et aleph0 c'est le cardinal des entiers, donc le nombre d'élément des entiers.

Sauf que certes il y a une """"infinité"""" de manière de ranger les entiers, mais pour chaque arrangement on range bien aleph0 éléments... donc celui qui vient après le dernier élément de la collection c'est bien... aleph0+1... donc omega=aleph0+1

Alors je compare surement des bananes et des chaises, c'est ca quand on maitrise pas son sujet.

En gros, pourquoi aleph0^2 ca a du sens et pas omega^2? Ca viendrait que d'un côté (1,0) = (0,1) et pas de l'autre?

Ouais en fait t'avais fait un article pour zombie en somme...

omega^2 a du sens et pas aleph0^2 ;).

Dessines-moi un apeirogon.

Parce qu'ils sont effectivement égaux. En fait, il faut comprendre que les ordinaux sont des ensembles vérifiant certaines propriétés, et que les cardinaux sont des ordinaux particuliers.
Plus précisément, un ordinal est un ensemble transitif (tout élément en est également une partie, autrement dit, les éléments des éléments d'un ordinal sont des éléments de cet ordinal) totalement ordonné pour la relation d'appartenance (c'est-à-dire qu'étant donnés deux éléments distincts d'un ordinal, il y en a un qui est élément de l'autre).
Les premiers ordinaux sont donc vide, {vide}, {vide ; {vide}}... (qui sont assimilés aux nombres 0, 1, 2 ...)
omega est le premier ordinal infini, son successeur est {omega ; {omega}} noté omega + 1
La classe des ordinaux est totalement ordonnée pour la relation d'appartenance.
Les cardinaux sont les ordinaux qui ne sont pas en bijection avec un de leurs éléments (ils ont un plus grand cardinal que les ordinaux placés avant eux dans la hiérarchie des ordinaux). Ainsi, les ordinaux finis sont des cardinaux, tout comme omega. Par contre, omega+1 n'est pas un cardinal puisqu'il est en bijection avec omega.
Il y a une arithmétique des ordinaux, et une arithmétique des cardinaux, et ces deux arithmétiques ne se recoupent pas (les opérations ne sont pas définies de la même façon pour les ordinaux et pour les cardinaux). Par exemple, omega^2 est un certain ordinal distinct de omega, tandis que aleph0^2 = aleph0

Oui alors ZF/ZFC t'es gentil, c'est sans doute génial, mais je suis pas docteur quoi ^^. Je relirais quand meme à froid, peut-etre que j'arriverai à comprendre.

Ce que je retiens, c'est que ce n'étais pas complètement absurde mon omega = aleph0+1

Je découvre cette discussion suite à une rencontre fortuite avec un Infinte Elemental ^^ (qui s'est fait act of treason-iser ;p)

^^

Poincaré disait que "faire des mathématiques, c'est appeler des choses différentes par le même nom". Mais parfois les mathématiciens abusent un peu trop de cet adage ;)

En réalité les cardinaux et les ordinaux n'ont rien à voir les un avec les autres.

Les cardinaux représentent des (classes d'équipotence d') ensembles, ils peuvent donc d'une certaine manière mesurer des quantités : 1 = un ensemble à 1 élement, 50 = un ensemble à 50 éléments, Aleph_0 = un ensemble disposant d'une infinité dénombrable d'éléments.
Et de ce point de vue, Mark Rosewater et ses sbires ont raison sur un point : + = . En revanche de ce point de vue - n'a aucun sens, il n'existe pas de façon standard de soustraire un ensemble d'un autre. Le fait que - = est donc une convention spécifique à Magic. Mathématiquement on pourrait trouver des interprétations valides donnant n'importe quelle valeur à - .

Les ordinaux en revanche sont des structures plus avancées. Elles ne servent pas à compter, mais à ranger des choses (d'une façon bien particulière, qu'on appelle "bien" ranger). En particulier, omega, omega +1, 2*omega +17, et même omega^omega sont tous égaux (équipotents) à Aleph_0. C'est le même ensemble, mais qui a été rangé différemment. Les omega le savent (grâce à leur "rangement", leur structure d'ordre), mais Aleph_0 n'en a même pas conscience.

Tout dépend de ce qu'on entend par arithmétique, pour ma part je dirais que non. Dans aucun des deux cas il n'existe de soustraction par exemple.

D'ailleurs il y a une erreur dans l'article: 17 + omega = omega, et non omega + 17. Abouter un ordinal limite ne peut faire parvenir qu'à un ordinal limite. Sauf si l'on utilise l'opération d'aboutage (+) à l'envers, mais dans ce cas on aura omega + 17 = omega.
En termes profanes, si on compte les PVs avec des ordinaux, soit gagner une infinité de PV (quelle que soit la grandeur de cette infinité) ne peut pas faire dépasser cette infinité (mécanique 1), soit une fois cette infinité gagnée il n'est plus possible de la faire évoluer autrement qu'avec une autre infinité (mécanique 2).
Et quelle que soit la mécanique choisie, il est impossible de donner un sens en théorie des ordinaux à la succession d'opérations suivante : j'ai 17 PV, j'en gagne , puis j'en perds 18.

Enfin bref. La conclusion de ceci serait donc qu'aucun des deux modèles mathématiques (cardinaux / ordinaux) ne correspond exactement aux choix fait par l'équipe de développement de MTG, ils ont construit leur propre modèle. Mais l'article m'a bien fait rire quand même =D

Désolé pour cette erreur, c'est vrai que j'ai écrit cet article sans me renseigner sur les ordinaux.

En fait, ce que j'avais en tête, c'était de travailler sur des couples d'entiers relatifs (a; b) :

* le couple (a; b) correspond à l'idée qui était présentée dans l'image du nombre "a * + b"

* du coup, à tout couple (a; b) on peut rajouter k * (pour tout k relatif), et ça donne ((a+k) * + b) c'est-à-dire le couple (a+k; b)
=> donc "tu es à X pvs, tu gagnes une infinité de pvs via un Infinity Elemental lien de vie qui se fait bloquer, tu te prends une infinité de blessures via un elemental attaquant qui te blesse, tu reviens à X" est bien possible, c'est l'enchaînement (0; X) + (1; 0) + (-1; 0)

* à tout couple (a; b) on peut rajouter k (pour tout k relatif) et ça donne (a * I + b + k) c'est-à-dire le couple (a; b+k)
=> donc "tu es à 17 pvs, tu gagnes une infinité de pvs via un Infinity Elemental lien de vie qui se fait bloquer, tu prends 18 blessures via une Boule de feu à X=18 adverse, tu es à - 1" est bien possible, c'est l'enchaînement (0; 17) + (1; 0) + (0; -18)

Pour une fois je n'ai pas été vérifier mes sources, et vu que je ne m'étais jamais penché sur les ordinaux, je m'imaginais que c'était un truc de ce genre là. Ça existe sûrement un modèle comme ça, quand même ? On peut d'ailleurs bien définir un ordre là-dessus, ça serait l'ordre lexicographique (a; b) <= (c; d) si et seulement si (a < c ou (a=c et b<=d)) ?

Est-ce que ça "existe", lourde question ^^'

Je crois que le modèle que tu avais en tête est en effet une espèce d'ordre lexicographique indexé par "l'ensemble" des cardinaux ... Le problème étant que ce n'est pas un ensemble. Sur ce point j'avoue que la question dépasse un peu mes capacités conceptuelles ^^'

Est-ce qu'on peut construire une espèce de Z-module gradué Z[{cardinaux}] avec comme base "l'ensemble" des (classes d'équipotence de) cardinaux, et l'ordonner totalement pour l'ordre lexicographique ? "L'ensemble" des cardinaux étant totalement ordonné (Cantor-Bernstein), je dirais que oui, quitte à se retreindre éventuellement à un univers pour régler les problèmes de "classes qui ne sont pas des ensembles". Mais je ne me risquerais pas à le faire formellement ^^

Pour les profanes, on compterait donc les PV comme ça :
4 Alpeh_1 - 3 Alpeh_0 -2021 (là je suis pas mort) ou
-28 Alpeh_2 +2021 (là je suis mort? ^^)
et je suppose qu'on considère avoir perdu à partir du moment où la coordonnée non nulle de plus haut grade devient négative ? C'est assez séduisant.

Vont alors se poser des questions intéressantes du style :
1. Quid de l'hypothèse du continu de Cantor ? (L'existence de "Aleph_(0,5)".) Est-elle Magic-compatible ?
2. La question 1. (et autres joyeusetés assimilées) se pose-t-elle dans le cadre restreint de Magic, où tous les objets sont construits par des processus finis ? (Les règles interdisent les processus infinis.)
3. Hasbro a-t-il envie que les joueurs se posent ce genre de question quand ils jouent ?

Pour les questions 1. et 2. c'est des bons exos à donner à de jeunes logiciens je pense ^^

Pour la 3. je dirais que non, et que donc même si n'avoir qu'un seul infini peut paraître injuste, ils préfèrent n'en avoir qu'un. Leur modèle est donc celui de la droite numérique achevée, à laquelle ils ont ajouté le concept d'infini "collant" ou "absorbant", à savoir qu'une fois l'infini atteint, on ne peut plus en partir. Ce n'est peut-être pas mathématiquement très abouti, mais ça minimise le nombre de règles de calcul à connaître.

Cela dit, je serais curieux d'avoir la réponse officielle de l'équipe de WotC sur le résultat du Fungal Sprouting sur l'Infinity Elemental ^^ Le fait de créer une infinité de Tokens peut être considérée comme le fait de créer une infinité de fois de suite un token. Et si c'est le cas, c'est une boucle infinie non stoppable et la partie se termine immédiatement par un match nul. Cette interprétation va dans le sens du blocage des boucles infinies. Mais je suppose que puisqu'il s'agit d'une carte d'un un-set, on aurait sûrement une un-answer =D

J'ai en tête un truc beaucoup plus simple que ce que tu décris : c'est juste N^2 (allez, vu qu'on est en Un- et qu'on a le droit aux demi-entiers Fraction Jackson voire aux réels Just Desserts, disons R^2).

On modifie du coup, tu as raison, la condition "avoir <= 0 points de vie, c'est mort" par "avoir <= (0; 0) points de vie, c'est mort".

Et, donc, la première coordonnée des points de vie ça représente "le nombre de fois qu'on a l'infini" (on n'a pas besoin de comprendre ce que c'est que l'infini, c'est juste le truc derrière le symbole sur Mox de lotus et Infinity Elemental, et cette coordonnée n'est donc modifiable qu'en utilisant des cartes qui ont d'écrit dessus) et la seconde ça représente "le nombre de fois qu'on a des points de vie normaux".

Donc, on démarre à (0; 20) points de vie. On se prend une Lightning Bolt, on passe à (0; 17). On attaque avec Infinity Elemental lifelink chumpbloqué, on passe à (1; 17) points de vie. On se chope une boule de feu à X=30, on passe à (1; -13) points de vie (on est encore en vie !). Etc. sans avoir aucun problème avec des quelconques considérations sur les aleph ou autres. C'est juste une notation qui nous permettrait de conceptualiser le "- What life total were you at when you first gained infinite life ?" de la petite anecdote visuelle : https://markrosewater.tumblr.com/post/167772094058/tales-from-the-pit-.... Effectivement, si on est à (1; 17) et qu'on se fait taper par un Infinity Elemental adverse, on redescend à (0; 17), soit bien à "notre total de points de vie avant d'en gagner une infinité avec notre Elemental lifelink".

On as des d'Albert Einstein dans la communauté MTG!
Très bel article, intéressant, expliquant très bien un sujet simple d'apparence,mais plus compliqué en creusant.