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Combo proposée le 31/03/2007, commentaire de : NdZeSword: Les probabilités sont de notre côté : Mana Screw va nous rendre (donc nous faire gagner un mana) une fois sur deux, et ne rien donner (donc nous faire perdre ) une fois sur deux. Ainsi, le tour après avoir joué Chance Encounter, on a 4 manas minimum, puisqu'on vient de jouer Chance Encounter. L'idée est qu'on a très peu de chance de faire beaucoup de mana (la probabilité d'arriver à N manas en partant de 4 avec N>=4 est de 4/N) mais on se fiche pas mal de faire beaucoup de manas, on veut juste "faire durer" suffisamment le nombre de pile ou face (on veut juste gagner 10 fois). Parce que la capacité de Chance Encounter est une capacité déclenchée conditionnelle, il faut que la condition soit remplie *avant* le début de l'entretien pour qu'elle se déclenche. D'où l'idée qu'il faut essayer de charger l'Encounter tout de suite, pour gagner à l'entretien prochain. En fait, sans poser de 5e terrain, on a environ 59,5% de chances de gagner au prochain entretien. Et si on a posé un 5e terrain, alors on a environ 69,3% de chances de gagner au prochain entretien. Bien sûr, si on n'est pas pressés et qu'on peut attendre un tour de plus, alors la victoire est quasi-assurée. Notons M le nombre de mana qu'on a à disposition, et L le nombre de marqueurs "luck" qu'on a sur la Chance Encounter. Notons alors P(M, L) la probabilité de réussir à mettre 10 marqueurs "luck" sur la Chance Encounter à l'aide de Mana Screw dans le tour. On souhaite donc calculer P(4, 0). Il est évident que pour tout M, P(M, 10) = 1 (s'il y a 10 marqueurs "luck", alors on a réussi à les y mettre). Pour les calculs suivants, on utilise le fait que : * pour tout i < 10, P(0, i) = 0 => si on n'a plus de mana dispo, on n'arrivera pas à mettre de marqueur supplémentaire. * pour tout k > 0 et tout i < 10, P(k, i) = 1/2 * P(k-1, i) + 1/2 * P(k+1, i+1) => si on a k mana en pool et qu'on en utilise 1 pour la Screw, soit on perd le lancer (on a k-1 manas en pool et toujours autant de marqueurs) soit on gagne le lancer (on a k+1 manas en pool et un marqueur de plus). Calculons les P(M, 9). * P(0, 9) = 0 * P(1, 9) = 1/2 * P(0, 9) + 1/2 * P(2, 10) = 1/2 * 0 + 1/2 * 1 = 1/2 * P(2, 9) = 1/2 * P(1, 9) + 1/2 * P(3, 10) = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1 = 1/4 + 2/4 = 3/4 * P(3, 9) = 1/2 * P(2, 9) + 1/2 * P(4, 10) = 1/2 * 3/4 + 1/2 * 1 = 3/8 + 4/8 = 7/8 * P(4, 9) = 1/2 * P(3, 9) + 1/2 * P(5, 10) = 1/2 * 7/8 + 1/2 * 1 = 7/16 + 8/16 = 15/16 * etc. * Par récurrence, P(M, 9) = (2^M - 1) / 2^M Calculons les P(M, 8) * P(0, 8) = 0 * P(1, 8) = 1/2 * P(0, 8) + 1/2 * P(2, 9) = 1/2 * 0 + 1/2 * 3/4 = 3/8 * P(2, 8) = 1/2 * P(1, 8) + 1/2 * P(3, 9) = 1/2 * 3/8 + 1/2 * 7/8 = 10/16 * P(3, 8) = 1/2 * P(2, 8) + 1/2 * P(4, 9) = 1/2 * 10/16 + 1/2 * 15/16 = 25/32 * P(4, 8) = 1/2 * P(3, 8) + 1/2 * P(5, 9) = 1/2 * 25/32 + 1/2 * 31/32 = 56/64 * P(5, 8) = 1/2 * P(4, 8) + 1/2 * P(6, 9) = 1/2 * 56/64 + 1/2 * 63/64 = 119/128 * etc. * Par récurrence, P(M, 8) = (2^(M+2) - (M+2) - 2) / 2^(M+2) (https://oeis.org/A000247 pour les numérateurs soit 0, 3, 10, 25, 56, 119, 246, 501, 1012, 2035, 4082, 8177, 16368, 32751, 65518, 131053, 262124, 524267, 1048554, 2097129, 4194280, 8388583, 16777190, 33554405, 67108836, 134217699, 268435426, 536870881, 1073741792, 2147483615) Calculons les P(M, 7) * P(0, 7) = 0 * P(1, 7) = 1/2 * P(0, 7) + 1/2 * P(2, 8) = 1/2 * 0 + 1/2 * 10/16 = 10/32 * P(2, 7) = 1/2 * P(1, 7) + 1/2 * P(3, 8) = 1/2 * 10/32 + 1/2 * 25/32 = 35/64 * P(3, 7) = 1/2 * P(2, 7) + 1/2 * P(4, 8) = 1/2 * 35/64 + 1/2 * 56/64 = 91/128 * P(4, 7) = 1/2 * P(3, 7) + 1/2 * P(5, 8) = 1/2 * 91/128 + 1/2 * 119/128 = 210/256 * etc. * Par récurrence, P(M, 7) = (2^(M+4) - ((M+5)(M+6)/2 + 1)) / 2^(M+4) (pour les numérateurs, 2^(M+4) - https://oeis.org/A000124 décalé de 5 soit 0, 10, 35, 91, 210, 456, 957, 1969, 4004) Calculons les P(M, 6) * P(0, 6) = 0 * P(1, 6) = 1/2 * P(0, 6) + 1/2 * P(2, 7) = 1/2 * 0 + 1/2 * 35/64 = 35/128 * P(2, 6) = 1/2 * P(1, 6) + 1/2 * P(3, 7) = 1/2 * 35/128 + 1/2 * 91/128 = 126/256 * P(3, 6) = 1/2 * P(2, 6) + 1/2 * P(4, 7) = 1/2 * 126/256 + 1/2 * 210/256 = 336/512 * P(4, 6) = 1/2 * P(3, 6) + 1/2 * P(5, 7) = 1/2 * 336/512 + 1/2 * 456/512 = 792/1024 * etc. * Par récurrence, P(M, 6) = (2^(M+6) - XXX) / 2^(M+6) (pour les numérateurs, 2^(M+6) - https://oeis.org/A000125 décalé de 7 soit 0, 35, 126, 336, 792, 1749, 3718, 7722) Calculons les P(M, 5) * P(0, 5) = 0 * P(1, 5) = 1/2 * P(0, 5) + 1/2 * P(2, 6) = 1/2 * 0 + 1/2 * 126/256 = 126/512 * P(2, 5) = 1/2 * P(1, 5) + 1/2 * P(3, 6) = 1/2 * 126/512 + 1/2 * 336/512 = 462/1024 * P(3, 5) = 1/2 * P(2, 5) + 1/2 * P(4, 6) = 1/2 * 462/1024 + 1/2 * 792/1024 = 1254/2048 * P(4, 5) = 1/2 * P(3, 5) + 1/2 * P(5, 6) = 1/2 * 1254/2048 + 1/2 * 1749/2048 = 3003/4096 * etc. * Par récurrence, P(M, 5) = (2^(M+8) - XXX) / 2^(M+8) (pour les numérateurs, 2^(M+8) - https://oeis.org/A000127 décalé de 9 soit 0, 126, 462, 1254, 3003, 6721, 14443, 30251) Calculons les P(M, 4) * P(0, 4) = 0 * P(1, 4) = 1/2 * P(0, 4) + 1/2 * P(2, 5) = 1/2 * 0 + 1/2 * 462/1024 = 462/2048 * P(2, 4) = 1/2 * P(1, 4) + 1/2 * P(3, 5) = 1/2 * 462/2048 + 1/2 * 1254/2048 = 1716/4096 * P(3, 4) = 1/2 * P(2, 4) + 1/2 * P(4, 5) = 1/2 * 1716/4096 + 1/2 * 3003/4096 = 4719/8192 * P(4, 4) = 1/2 * P(3, 4) + 1/2 * P(5, 5) = 1/2 * 4719/8192 + 1/2 * 6721/8192 = 11440/16384 * etc. * Par récurrence, P(M, 4) = (2^(M+10) - XXX) / 2^(M+10) (pour les numérateurs, 2^(M+10) - https://oeis.org/A006261 décalé de 11 soit 0, 462, 1716, 4719, 11440, 25883, 56134) Calculons les P(M, 3) * P(0, 3) = 0 * P(1, 3) = 1/2 * P(0, 3) + 1/2 * P(2, 4) = 1/2 * 0 + 1/2 * 1716/4096 = 1716/8192 * P(2, 3) = 1/2 * P(1, 3) + 1/2 * P(3, 4) = 1/2 * 1716/8192 + 1/2 * 4719/8192 = 6435/16384 * P(3, 3) = 1/2 * P(2, 3) + 1/2 * P(4, 4) = 1/2 * 6435/16384 + 1/2 * 11440/16384 = 17875/32768 * P(4, 3) = 1/2 * P(3, 3) + 1/2 * P(5, 4) = 1/2 * 17875/32768 + 1/2 * 25883/32768 = 43758/65536 * etc. * Par récurrence, P(M, 3) = (2^(M+12) - XXX) / 2^(M+12) (pour les numérateurs, 2^(M+12) - https://oeis.org/A008859 décalé de 13 soit 0, 1716, 6435, 17875, 43758, 99892, 218348) Calculons les P(M, 2) * P(0, 2) = 0 * P(1, 2) = 1/2 * P(0, 2) + 1/2 * P(2, 3) = 1/2 * 0 + 1/2 * 6435/16384 = 6435/32768 * P(2, 2) = 1/2 * P(1, 2) + 1/2 * P(3, 3) = 1/2 * 6435/32768 + 1/2 * 17875/32768 = 24310/65536 * P(3, 2) = 1/2 * P(2, 2) + 1/2 * P(4, 3) = 1/2 * 24310/65536 + 1/2 * 43758/65536 = 68068/131072 * P(4, 2) = 1/2 * P(3, 2) + 1/2 * P(5, 3) = 1/2 * 68068/131072 + 1/2 * 99892/131072 = 167960/262144 * etc. * Par récurrence, P(M, 2) = (2^(M+14) - XXX) / 2^(M+14) (pour les numérateurs, 2^(M+14) - https://oeis.org/A008860 décalé de 15 soit 0, 6435, 24310, 68068, 167960, 386308, 850136) Calculons les P(M, 1) * P(0, 1) = 0 * P(1, 1) = 1/2 * P(0, 1) + 1/2 * P(2, 2) = 1/2 * 0 + 1/2 * 24310/65536 = 24310/131072 * P(2, 1) = 1/2 * P(1, 1) + 1/2 * P(3, 2) = 1/2 * 24310/131072 + 1/2 * 68068/131072 = 92378/262144 * P(3, 1) = 1/2 * P(2, 1) + 1/2 * P(4, 2) = 1/2 * 92378/262144 + 1/2 * 167960/262144 = 260338/524288 * P(4, 1) = 1/2 * P(3, 1) + 1/2 * P(5, 2) = 1/2 * 260338/524288 + 1/2 * 386308/524288 = 646646/1048576 * etc. * Par récurrence, P(M, 1) = (2^(M+16) - XXX) / 2^(M+16) (pour les numérateurs, 2^(M+16) - https://oeis.org/A008861 décalé de 17 soit 0, 24310, 92378, 260338, 646646, 1496782, 3313334) Calculons les P(M, 0) * P(0, 0) = 0 * P(1, 0) = 1/2 * P(0, 0) + 1/2 * P(2, 1) = 1/2 * 0 + 1/2 * 92378/262144 = 92378/524288 * P(2, 0) = 1/2 * P(1, 0) + 1/2 * P(3, 1) = 1/2 * 92378/524288 + 1/2 * 260338/524288 = 352716/1048576 * P(3, 0) = 1/2 * P(2, 0) + 1/2 * P(4, 1) = 1/2 * 352716/1048576 + 1/2 * 646646/1048576 = 999362/2097152 * P(4, 0) = 1/2 * P(3, 0) + 1/2 * P(5, 1) = 1/2 * 999362/2097152 + 1/2 * 1496782/2097152 = 2496144/4194304 Ainsi, on a une probabilité de 2496144/4194304 soit environ 59,5% de chances de gagner. Et si on avait posé un 5e terrain, alors : * P(5, 0) = 1/2 * P(4, 0) + 1/2 * P(6, 1) = 1/2 * 2496144/4194304 + 1/2 * 3313334/4194304 = 5809478/8388608 Ainsi, on a une probabilité de 5809478/8388608 soit environ 69,3% de chances de gagner. Ndniarfounet: En raison des règles sur le slow play, cette combo ne sera pas autorisée en tournoi compétitif. |
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