C'est quand la dernière fois que vous avez fait des maths ou la dernière fois que vous vous êtes retrouvé dans une situation où les maths vous aurait bien servi mais que hélas les maths et vous ça fait 3 ?

Euh... question 4), c'est quoi x ? Si c'est la distance entre le centre de la fève et le centre de la galette, je trouve bien la même proba (8/Pi*arcsin(1/(R-1))), mais pas sur les mêmes bornes (pour x > 1/sin(Pi/8) en fait).

D'ailleurs c'est assez visible sur le schéma : l'angle OAD vaut Pi/8, donc OD/OA = sin(Pi/8), or OD = 1 et OA = x, donc x = 1/sin(Pi/8).

Errata : O->G.

C'est R pas x, il n'y a en effet pas de x dans l'énoncé.

R = 1 + 1/sin(Pi/8)

Ce qui donne bien la même borne du coup

Oui j'ai compris ça après, mais du coup ça ne tombe toujours pas juste :)
1/sin(Pi/8) + 1
1+sqrt(4+sqrt(2))

Vu l'heure je me goure peut-être, mais j'ai l'impression que la généralisation est assez simple en fin de compte.

Avec :
- N parts égales, N >= 1 ;
- R rayon de la galette > 0 ;
- r rayon de la fève, 0 < r < R ;

On a :
Aire de la surface IAJ = A1 = Pi*R1²/N avec R1 = R - r
Aire de la surface FGH = A2 = Pi*R2²/N avec R2 = R - r - AG

Or :
AG = r/sin(Pi/N)

Donc :
Si AG > R-r, donc r/(R-r) > sin(Pi/N), alors p = 1 - A2/A1 = 1 - [R - r - r/sin(Pi/N)]² / [R - r]²
Sinon : p = 1

Bon je me serais bien penché sur le problème plus sérieusement mais je suis affreusement saoul

vivement que mes enfants fassent des maths de ce niveau pour que je dérouille mon cerveau, parce que je ne me rappelle de quasiment aucune propriété qui permettent de calculer ce que tu demandes.
(et bien entendu encore moins des démonstrations qui pourraient me permettre de retrouver)

Mmmh effectivement j'ai fait mon raisonnement trop tard, mon calcul de l'aire A2 (P sur ton schéma) est faux car l'arc de cercle HF délimitant la section P n'a pas pour centre G, mais A.

Par contre je maintiens que le résultat proposé pour la question A.3.c est faux, car 1 + 1/sin(Pi/8) != 1+sqrt(4+sqrt(2))
:)

Je n'ai pas regardé la suite en détail, je ne pense pas que ça ait une conséquence sur le résultat final. Le graphique en B.4 me semble bon (et colle avec mon résultat en p=1).

A la base (avant de voir ton schéma), j'étais parti sur un calcul de l'aire P par intégration de l'arc de cercle de centre A, de rayon x et d'angle teta, avec :
- teta = 2*Pi/n - 2*arcsin(1/x) ;
- sur x = AG jusqu'à x = R-1.

Ça doit donner le même résultat, probablement de façon un peu plus compliquée à résoudre.